MENSURATION – 2D FIGURES
Mensuration गणित की वह शाखा है जिसमें विभिन्न आकृतियों के परिमाप, क्षेत्रफल, लंबाई, ऊँचाई, विकर्ण, त्रिज्या आदि का अध्ययन किया जाता है।
Mensuration is the branch of mathematics that deals with the measurement of length, perimeter, area and other dimensions of geometrical figures.
Important Symbols
a, b, c = भुजाएँ, l = लंबाई, b = चौड़ाई/आधार, h = ऊँचाई, r = त्रिज्या, d = व्यास, d₁, d₂ = विकर्ण, θ = केन्द्र पर बना कोण।
π = 22/7 या 3.14 (प्रश्न के अनुसार)
1. Triangle (त्रिभुज)
Basic Formulas
- त्रिभुज का परिमाप = a + b + c
- त्रिभुज का अर्द्धपरिमाप = s = (a + b + c)/2
- त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई
- हीरोन सूत्र द्वारा क्षेत्रफल = √[s(s − a)(s − b)(s − c)]
- त्रिभुज के तीनों कोणों का योग = 180°
| Triangle Type | Important Formula | Special Fact |
|---|---|---|
| समबाहु त्रिभुज | परिमाप = 3a अर्द्धपरिमाप = 3a/2 ऊँचाई = (√3/2)a क्षेत्रफल = (√3/4)a² | क्षेत्रफल = h²/√3 प्रत्येक कोण = 60° |
| समद्विबाहु त्रिभुज | परिमाप = 2a + b ऊँचाई = 1/2√(4a² − b²) क्षेत्रफल = b/4√(4a² − b²) | दो बराबर भुजाओं के सामने के कोण बराबर होते हैं। |
| समकोण त्रिभुज | क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × लम्ब कर्ण² = आधार² + लम्ब² | पाइथागोरस प्रमेय: c² = a² + b² |
Extra Exam Formulas
- क्षेत्रफल = 1/2 ab sin C
- अंतःवृत्त की त्रिज्या = r = Δ/s
- परिवृत्त की त्रिज्या = R = abc/(4Δ)
2. Circle (वृत्त)
- वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
- वृत्त की परिधि = 2πr = πd
- व्यास = 2r
- अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = πr²/2
- अर्धवृत्त की परिधि = πr + 2r
- अर्धवृत्त की केवल वक्र लंबाई = πr
- चतुर्थांश का क्षेत्रफल = πr²/4
- चतुर्थांश की परिधि = πr/2 + 2r
Important Facts
- वृत्त का सबसे बड़ा जीवा उसका व्यास होता है।
- केन्द्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को दो बराबर भागों में बाँटता है।
- स्पर्शरेखा, स्पर्श-बिंदु पर त्रिज्या के लम्बवत होती है।
3. Sector (त्रिज्यखण्ड)
- त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = (θ/360°) × πr²
- यदि चाप की लंबाई L हो, तो क्षेत्रफल = 1/2 × L × r
- चाप की लंबाई = (θ/360°) × 2πr
- त्रिज्यखण्ड की परिधि = चाप की लंबाई + 2r
Minor and Major Sector
यदि θ < 180°, तो वह लघु त्रिज्यखण्ड होता है। यदि θ > 180°, तो वह दीर्घ त्रिज्यखण्ड होता है।
4. Quadrilateral (चतुर्भुज)
- चतुर्भुज के चारों कोणों का योग = 360°
- चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 1/2 × विकर्ण × उस विकर्ण पर डाले गए दोनों लम्बों का योग
- चतुर्भुज का परिमाप = चारों भुजाओं का योग
5. Rectangle (आयत)
- आयत का परिमाप = 2(l + b)
- आयत का क्षेत्रफल = l × b
- आयत का विकर्ण = √(l² + b²)
- लंबाई = क्षेत्रफल / चौड़ाई
- चौड़ाई = क्षेत्रफल / लंबाई
आयत की सम्मुख भुजाएँ बराबर और समानांतर होती हैं तथा प्रत्येक कोण 90° होता है। इसके दोनों विकर्ण बराबर होते हैं और एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
6. Square (वर्ग)
- वर्ग का परिमाप = 4a
- वर्ग का क्षेत्रफल = a²
- वर्ग का विकर्ण = a√2
- विकर्ण के आधार पर क्षेत्रफल = d²/2
- भुजा = √क्षेत्रफल
वर्ग की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं। इसके विकर्ण बराबर, परस्पर लम्बवत तथा एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
7. Parallelogram (समांतर चतुर्भुज)
- समांतर चतुर्भुज का परिमाप = 2(a + b)
- समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई
- दो भुजाओं और उनके बीच के कोण से क्षेत्रफल = ab sin θ
- विकर्णों के वर्गों का योग = d₁² + d₂² = 2(a² + b²)
समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर और समानांतर होती हैं। सम्मुख कोण बराबर होते हैं तथा इसके विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
8. Rhombus (समचतुर्भुज)
- समचतुर्भुज का परिमाप = 4a
- समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = 1/2 × d₁ × d₂
- आधार और ऊँचाई से क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई
- भुजा = 1/2√(d₁² + d₂²)
- यदि भुजा a और एक विकर्ण d₁ हो, तो दूसरा विकर्ण = d₂ = √(4a² − d₁²)
समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं। इसके विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
9. Trapezium (समलंब चतुर्भुज)
- क्षेत्रफल = 1/2 × (समांतर भुजाओं का योग) × ऊँचाई
- यदि समांतर भुजाएँ a और b हों, तो क्षेत्रफल = 1/2(a + b)h
- परिमाप = चारों भुजाओं का योग
- मध्य रेखा की लंबाई = (a + b)/2
- क्षेत्रफल = मध्य रेखा × ऊँचाई
10. Kite (पतंगाकार चतुर्भुज)
- क्षेत्रफल = 1/2 × d₁ × d₂
- यदि पास-पास की बराबर भुजाएँ a और b हों, तो परिमाप = 2(a + b)
Units (इकाइयाँ)
| Quantity | Unit | Example |
|---|---|---|
| लंबाई/परिमाप | साधारण इकाई | cm, m, km |
| क्षेत्रफल | वर्ग इकाई | cm², m², km² |
Important Conversions
- 1 metre = 100 centimetres
- 1 square metre = 10,000 square centimetres
- 1 kilometre = 1000 metres
- 1 square kilometre = 10,00,000 square metres
- 1 hectare = 10,000 square metres
Common Errors
- वर्ग का परिमाप 4 × भुजा होता है, 4 × क्षेत्रफल नहीं।
- वर्ग का विकर्ण a√2 होता है, √2 × क्षेत्रफल नहीं।
- समांतर चतुर्भुज का परिमाप 2(a + b) होता है। 2(B + H) उसका विकर्ण नहीं है।
- अर्धवृत्त की परिधि निकालते समय व्यास 2r जोड़ना न भूलें।
- क्षेत्रफल की इकाई हमेशा वर्ग इकाई में लिखें।
- समद्विबाहु त्रिभुज का सही नाम समद्विबाहु त्रिभुज है।
Quick Revision
Perimeter = Boundary Length | Area = Covered Surface
- Triangle → 1/2 × Base × Height
- Equilateral Triangle → (√3/4)a²
- Circle → πr²
- Rectangle → l × b
- Square → a²
- Parallelogram → Base × Height
- Rhombus/Kite → 1/2 × d₁ × d₂
- Trapezium → 1/2 × (Sum of Parallel Sides) × Height