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ALGEBRAIC IDENTITIES

Important Note

यहाँ a, b, c, x और n वास्तविक संख्याएँ हैं तथा भिन्न वाले सूत्रों में x ≠ 0 होगा।

Square Formula (वर्ग सूत्र)

क्रम Formula
1(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab = (a − b)2 + 4ab
2(a − b)2 = a2 + b2 − 2ab = (a + b)2 − 4ab
3a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab
4a2 + b2 = (a − b)2 + 2ab
5a2 − b2 = (a + b)(a − b)
6(a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2)
7(a + b)2 − (a − b)2 = 4ab
8(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
9a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 − 2(ab + bc + ca)

Cube Formula (घन सूत्र)

क्रम Formula
1(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
2(a − b)3 = a3 − b3 − 3ab(a − b)
3a3 + b3 = (a + b)3 − 3ab(a + b)
4a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
5a3 − b3 = (a − b)3 + 3ab(a − b)
6a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)
a3 + b3 + c3 − 3abc के महत्वपूर्ण रूप
F1. (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) F2. (a + b + c){(a + b + c)2 − 3(ab + bc + ca)} F3. (a + b + c)/2 {3(a2 + b2 + c2) − (a + b + c)2} F4. (a + b + c)/2 {(a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2}
Special Result

यदि a + b + c = 0, तो a3 + b3 + c3 = 3abc।

जब x + 1/x = n

ध्यान दें: वास्तविक x के लिए |n| ≥ 2 होगा। x − 1/x का चिह्न x के मान पर निर्भर करता है।

क्रमResult
1x − 1/x = ±√(n2 − 4)
2x2 + 1/x2 = n2 − 2
3x3 + 1/x3 = n3 − 3n
4x4 + 1/x4 = (n2 − 2)2 − 2
5x5 + 1/x5 = n5 − 5n3 + 5n
6x6 + 1/x6 = (n3 − 3n)2 − 2
Difference वाले उपयोगी परिणाम
x2 − 1/x2 = (x + 1/x)(x − 1/x) x3 − 1/x3 = (x − 1/x)(n2 − 1) x4 − 1/x4 = (x2 + 1/x2)(x2 − 1/x2)

जब x − 1/x = n

ध्यान दें: x + 1/x = ±√(n2 + 4)। यदि x धनात्मक हो, तो धनात्मक चिह्न लिया जाता है।

क्रमResult
1x + 1/x = ±√(n2 + 4)
2x2 + 1/x2 = n2 + 2
3x2 − 1/x2 = n(x + 1/x)
4x3 − 1/x3 = n3 + 3n
5x4 + 1/x4 = (n2 + 2)2 − 2
6x4 − 1/x4 = (x2 + 1/x2)(x2 − 1/x2)
7x5 − 1/x5 = n5 + 5n3 + 5n
8x6 + 1/x6 = (n3 + 3n)2 + 2
9x8 + 1/x8 = (x4 + 1/x4)2 − 2

Important Recurrence Formula

यदि x + 1/x = n, तो

Sk = nSk−1 − Sk−2

जहाँ Sk = xk + 1/xk, S0 = 2 और S1 = n।

Common Errors

  1. (a + b)2 + (a − b)2 में दोनों पदों के बीच + होता है, गुणा नहीं।
  2. F4 में तीनों वर्गों के बीच + होगा: (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2।
  3. यदि x + 1/x = n, तो x2 + 1/x2 = n2 − 2।
  4. यदि x − 1/x = n, तो x + 1/x = ±√(n2 + 4), न कि √(n2 − 4)।
  5. यदि x − 1/x = n, तो x3 − 1/x3 = n3 + 3n।

Quick Revision

  • (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
  • (a − b)2 = a2 + b2 − 2ab
  • a2 − b2 = (a + b)(a − b)
  • a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
  • a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)
  • a + b + c = 0 ⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc
  • x + 1/x = n ⇒ x2 + 1/x2 = n2 − 2
  • x − 1/x = n ⇒ x2 + 1/x2 = n2 + 2
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