TRIGONOMETRY
Trigonometry गणित की वह शाखा है जिसमें त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के बीच संबंधों का अध्ययन किया जाता है।
Trigonometry deals with the relations between the sides and angles of a triangle.
Important Symbols
- P = Perpendicular (लंब)
- B = Base (आधार)
- H = Hypotenuse (कर्ण)
- θ = कोण
1. Six Trigonometric Ratios
| Ratio | Formula | Hindi Form |
|---|---|---|
| sin θ | P/H | लंब / कर्ण |
| cos θ | B/H | आधार / कर्ण |
| tan θ | P/B | लंब / आधार |
| cot θ | B/P | आधार / लंब |
| sec θ | H/B | कर्ण / आधार |
| cosec θ | H/P | कर्ण / लंब |
2. Reciprocal Relations
sin θ × cosec θ = 1
cos θ × sec θ = 1
tan θ × cot θ = 1
cosec θ = 1/sin θ
sec θ = 1/cos θ
cot θ = 1/tan θ
3. Quotient Relations
tan θ = sin θ / cos θ
cot θ = cos θ / sin θ
4. Pythagorean Identities
sin²θ + cos²θ = 1
1 + tan²θ = sec²θ
1 + cot²θ = cosec²θ
इनसे:
- 1 − sin²θ = cos²θ
- 1 − cos²θ = sin²θ
- sec²θ − tan²θ = 1
- cosec²θ − cot²θ = 1
5. Standard Values Table
| θ | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin θ | 0 | 1/2 | 1/√2 | √3/2 | 1 |
| cos θ | 1 | √3/2 | 1/√2 | 1/2 | 0 |
| tan θ | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | अपरिभाषित |
| cot θ | अपरिभाषित | √3 | 1 | 1/√3 | 0 |
| sec θ | 1 | 2/√3 | √2 | 2 | अपरिभाषित |
| cosec θ | अपरिभाषित | 2 | √2 | 2/√3 | 1 |
6. Complementary Angle Relations
sin(90° − θ) = cos θ
cos(90° − θ) = sin θ
tan(90° − θ) = cot θ
cot(90° − θ) = tan θ
sec(90° − θ) = cosec θ
cosec(90° − θ) = sec θ
7. Sign Rule in Quadrants (ASTC Rule)
| Quadrant | Positive Ratios | Angle Range |
|---|---|---|
| I | सभी ratios positive | 0° से 90° |
| II | sin, cosec positive | 90° से 180° |
| III | tan, cot positive | 180° से 270° |
| IV | cos, sec positive | 270° से 360° |
8. Allied Angle Formula
Rule: 90° और 270° के साथ ratio बदलता है; 180° और 360° के साथ ratio नहीं बदलता। Sign quadrant के अनुसार लिया जाता है।
| Expression | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 90° − θ | cos θ | sin θ | cot θ |
| 90° + θ | cos θ | −sin θ | −cot θ |
| 180° − θ | sin θ | −cos θ | −tan θ |
| 180° + θ | −sin θ | −cos θ | tan θ |
| 270° − θ | −cos θ | −sin θ | cot θ |
| 270° + θ | −cos θ | sin θ | −cot θ |
| 360° − θ | −sin θ | cos θ | −tan θ |
| 360° + θ | sin θ | cos θ | tan θ |
9. Negative Angle Formula
sin(−θ) = −sin θ
cos(−θ) = cos θ
tan(−θ) = −tan θ
cot(−θ) = −cot θ
sec(−θ) = sec θ
cosec(−θ) = −cosec θ
10. Periodicity Formula
sin(θ + 360°n) = sin θ
cos(θ + 360°n) = cos θ
sec(θ + 360°n) = sec θ
cosec(θ + 360°n) = cosec θ
tan(θ + 180°n) = tan θ
cot(θ + 180°n) = cot θ
जहाँ n कोई पूर्णांक है।
11. Compound Angle Formula
| Formula | Result |
|---|---|
| sin(A + B) | sin A cos B + cos A sin B |
| sin(A − B) | sin A cos B − cos A sin B |
| cos(A + B) | cos A cos B − sin A sin B |
| cos(A − B) | cos A cos B + sin A sin B |
| tan(A + B) | (tan A + tan B)/(1 − tan A tan B) |
| tan(A − B) | (tan A − tan B)/(1 + tan A tan B) |
12. Double Angle Formula
sin 2A = 2 sin A cos A
cos 2A = cos²A − sin²A
cos 2A = 2cos²A − 1
cos 2A = 1 − 2sin²A
tan 2A = 2tan A/(1 − tan²A)
cot 2A = (cot²A − 1)/(2cot A)
13. Triple Angle Formula
sin 3A = 3sin A − 4sin³A
cos 3A = 4cos³A − 3cos A
tan 3A = (3tan A − tan³A)/(1 − 3tan²A)
14. Half Angle Formula
sin²(A/2) = (1 − cos A)/2
cos²(A/2) = (1 + cos A)/2
sin(A/2) = ±√[(1 − cos A)/2]
cos(A/2) = ±√[(1 + cos A)/2]
tan(A/2) = sin A/(1 + cos A)
tan(A/2) = (1 − cos A)/sin A
tan(A/2) = ±√[(1 − cos A)/(1 + cos A)]
Half-angle में ± का sign, A/2 के quadrant पर निर्भर करता है।
15. Product to Sum Formula
2sin A cos B = sin(A + B) + sin(A − B)
2cos A sin B = sin(A + B) − sin(A − B)
2cos A cos B = cos(A + B) + cos(A − B)
2sin A sin B = cos(A − B) − cos(A + B)
16. Sum to Product Formula
sin C + sin D = 2sin[(C + D)/2] cos[(C − D)/2]
sin C − sin D = 2cos[(C + D)/2] sin[(C − D)/2]
cos C + cos D = 2cos[(C + D)/2] cos[(C − D)/2]
cos C − cos D = −2sin[(C + D)/2] sin[(C − D)/2]
17. Important Derived Identities
| क्रम | Identity |
|---|---|
| 1 | (sec θ + tan θ)(sec θ − tan θ) = 1 |
| 2 | (cosec θ + cot θ)(cosec θ − cot θ) = 1 |
| 3 | 1 − cos 2A = 2sin²A |
| 4 | 1 + cos 2A = 2cos²A |
| 5 | sin²A = (1 − cos 2A)/2 |
| 6 | cos²A = (1 + cos 2A)/2 |
| 7 | sin A cos A = (1/2)sin 2A |
| 8 | tan A + cot A = sec A cosec A |
| 9 | (1 − sin A)(1 + sin A) = cos²A |
| 10 | (1 − cos A)(1 + cos A) = sin²A |
18. Triangle Angle Relations
यदि A + B + C = 180°, तो:
sin(A + B) = sin C cos(A + B) = −cos C tan(A + B) = −tan C tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C19. Important Exact Values
| Expression | Value |
|---|---|
| sin 15° | (√6 − √2)/4 |
| cos 15° | (√6 + √2)/4 |
| tan 15° | 2 − √3 |
| sin 75° | (√6 + √2)/4 |
| cos 75° | (√6 − √2)/4 |
| tan 75° | 2 + √3 |
20. Degree and Radian Conversion
180° = π radian
1° = π/180 radian
1 radian = 180°/π
21. General Solutions
| Equation | General Solution |
|---|---|
| sin θ = sin α | θ = n×180° + (−1)nα |
| cos θ = cos α | θ = 360°n ± α |
| tan θ = tan α | θ = 180°n + α |
यहाँ n कोई पूर्णांक है।
22. Common Errors
- tan 90° और sec 90° अपरिभाषित होते हैं।
- cot 0° और cosec 0° अपरिभाषित होते हैं।
- cos(A + B) में बीच का sign ऋणात्मक होता है।
- cos(A − B) में बीच का sign धनात्मक होता है।
- tan(A + B) के denominator में 1 − tan A tan B होता है।
- tan(A − B) के denominator में 1 + tan A tan B होता है।
- Half-angle formula में ± sign quadrant के अनुसार बदलता है।
- 90° और 270° के साथ ratio बदलता है; 180° और 360° के साथ ratio वही रहता है।
23. Quick Revision
- sin θ = P/H, cos θ = B/H, tan θ = P/B
- sin²θ + cos²θ = 1
- 1 + tan²θ = sec²θ
- 1 + cot²θ = cosec²θ
- sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B
- cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B
- sin 2A = 2sin A cos A
- cos 2A = cos²A − sin²A
- tan 2A = 2tan A/(1 − tan²A)
- sin 3A = 3sin A − 4sin³A
- cos 3A = 4cos³A − 3cos A