MENSURATION – 3D FIGURES
Three-Dimensional Mensuration में घन, घनाभ, बेलन, शंकु, गोला, प्रिज्म और पिरामिड जैसी ठोस आकृतियों के पृष्ठीय क्षेत्रफल तथा आयतन का अध्ययन किया जाता है।
Three-dimensional mensuration deals with the surface area and volume of solid figures.
Important Symbols
a = भुजा, L = लंबाई, b = चौड़ाई, h = लम्बवत ऊँचाई, l = तिर्यक ऊँचाई, r = छोटी/आंतरिक त्रिज्या, R = बड़ी/बाहरी त्रिज्या।
π = 22/7 या 3.14 (प्रश्न के अनुसार)
CSA = वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, LSA = पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल, TSA = संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल।
1. Cube (घन)
- घन का आयतन = a³
- घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4a²
- घन का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a²
- घन का विकर्ण = a√3
- घन के एक फलक का विकर्ण = a√2
- घन की सभी धाराओं की कुल लंबाई = 12a
2. Cuboid (घनाभ)
- घनाभ का आयतन = L × b × h
- घनाभ का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2h(L + b)
- घनाभ का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(Lb + bh + hL)
- घनाभ का विकर्ण = √(L² + b² + h²)
- घनाभ की सभी धाराओं की कुल लंबाई = 4(L + b + h)
3. Right Circular Cylinder (लंबवृत्तीय बेलन)
- बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
- बेलन का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr(r + h)
- बेलन का आयतन = πr²h
- बेलन के आधार का क्षेत्रफल = πr²
4. Hollow Cylinder (खोखला बेलन)
- आंतरिक तथा बाहरी वक्र पृष्ठों का कुल क्षेत्रफल = 2πh(R + r)
- दोनों वलयाकार सिरों सहित कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πh(R + r) + 2π(R² − r²)
- खोखले बेलन में प्रयुक्त पदार्थ का आयतन = π(R² − r²)h
- बेलन की मोटाई = R − r
5. Right Circular Cone (लंबवृत्तीय शंकु)
- शंकु की तिर्यक ऊँचाई = l = √(r² + h²)
- शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
- शंकु का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = πr(l + r)
- शंकु का आयतन = 1/3 πr²h
6. Frustum of a Cone (शंकु का छिन्नक)
- छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई = l = √[h² + (R − r)²]
- छिन्नक का आयतन = 1/3 πh(R² + r² + Rr)
- छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = π(R + r)l
- छिन्नक का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = π(R + r)l + π(R² + r²)
7. Sphere (गोला)
- गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
- गोले का आयतन = 4/3 πr³
- गोले का व्यास = 2r
8. Spherical Shell (खोखला गोला)
- बाहरी और भीतरी दोनों पृष्ठों का कुल क्षेत्रफल = 4π(R² + r²)
- खोखले गोले में प्रयुक्त पदार्थ का आयतन = 4/3 π(R³ − r³)
- गोलीय खोल की मोटाई = R − r
9. Hemisphere (अर्धगोला)
- अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr²
- अर्धगोले का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3πr²
- अर्धगोले का आयतन = 2/3 πr³
10. Hemispherical Shell (अर्द्धगोलीय खोल)
- आंतरिक तथा बाहरी वक्र पृष्ठों का कुल क्षेत्रफल = 2π(R² + r²)
- वलयाकार आधार सहित कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3πR² + πr²
- अर्द्धगोलीय खोल में प्रयुक्त पदार्थ का आयतन = 2/3 π(R³ − r³)
11. Prism (प्रिज्म)
- प्रिज्म का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = आधार का परिमाप × ऊँचाई
- प्रिज्म का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल + 2 × आधार का क्षेत्रफल
- प्रिज्म का आयतन = आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई
| Prism Type | Lateral Surface Area | Total Surface Area | Volume |
|---|---|---|---|
| समबाहु त्रिभुजाकार प्रिज्म | 3ah | 3ah + (√3/2)a² | (√3/4)a²h |
| वर्गाकार प्रिज्म | 4ah | 4ah + 2a² | a²h |
| नियमित षट्कोणीय प्रिज्म | 6ah | 6ah + 3√3a² | (3√3/2)a²h |
12. Pyramid (पिरामिड)
- नियमित पिरामिड का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 1/2 × आधार का परिमाप × तिर्यक ऊँचाई
- पिरामिड का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल + आधार का क्षेत्रफल
- पिरामिड का आयतन = 1/3 × आधार का क्षेत्रफल × लम्बवत ऊँचाई
Important Relations
- समान आधार और समान ऊँचाई वाले बेलन तथा शंकु में: बेलन का आयतन = 3 × शंकु का आयतन
- समान आधार और समान ऊँचाई वाले प्रिज्म तथा पिरामिड में: प्रिज्म का आयतन = 3 × पिरामिड का आयतन
- एक गोला दो समान अर्धगोलों से बनता है।
- क्षेत्रफल की इकाई वर्ग इकाई तथा आयतन की इकाई घन इकाई होती है।
- 1 litre = 1000 cm³ तथा 1 m³ = 1000 litre
Common Errors
- Frustum का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल π(R + r)l होता है, π(R + h)l नहीं।
- खोखले गोले के दोनों पृष्ठों का कुल क्षेत्रफल 4π(R² + r²) होता है; घटाव केवल आयतन में होता है।
- अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 2πr² और आधार सहित संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 3πr² होता है।
- पृष्ठीय क्षेत्रफल में वर्ग इकाई तथा आयतन में घन इकाई अवश्य लिखें।
- शंकु/छिन्नक में l तिर्यक ऊँचाई और h लम्बवत ऊँचाई है।
Units (इकाइयाँ)
| Quantity | Unit | Examples |
|---|---|---|
| लंबाई | साधारण इकाई | cm, m, km |
| पृष्ठीय क्षेत्रफल | वर्ग इकाई | cm², m², km² |
| आयतन | घन इकाई | cm³, m³, km³ |
| क्षमता | litre / millilitre | 1 L = 1000 mL = 1000 cm³ |
Quick Revision
Surface Area = Covering | Volume = Capacity
- Cube: V = a³, TSA = 6a²
- Cuboid: V = lbh, TSA = 2(Lb + bh + hL)
- Cylinder: V = πr²h, CSA = 2πrh
- Cone: V = 1/3πr²h, CSA = πrl
- Sphere: V = 4/3πr³, SA = 4πr²
- Hemisphere: V = 2/3πr³, CSA = 2πr², TSA = 3πr²
- Prism: V = base area × height
- Pyramid: V = 1/3 × base area × height